量子もつれ

量子もつれ（Quantum Entanglement）」は、アインシュタインが
「不気味な遠隔作用（spooky action at a distance）」と呼んで嫌った、
量子力学の中で最も不思議で、かつ現代の量子情報科学の基盤となっている現象です。

量子もつれとは何か？（数式による定義）

2つの粒子（例えば光子や電子）が「量子もつれ」の状態にあるとき、
全体の系としては確定した状態にあるにもかかわらず、
それぞれの粒子単独の状態は完全に未確定（確率的）になります。
そして、一方の粒子を観測した瞬間に、どれだけ離れていても
（たとえ宇宙の端と端であっても）、
もう一方の粒子の状態が瞬時に決定します。

これを、量子力学の標準的な表記法である
ブラケット記法で表してみましょう。

状態の重ね合わせ（単一の量子）

1つの量子ビット（スピン）の上向きを ∣↑⟩、下向きを ∣↓⟩ とします。
量子は観測されるまで、これらが
「重ね合わせ」になった状態をとることができます。

∣ψ⟩=α∣↑⟩+β∣↓⟩

（ここで、α,β は複素数で、確率の総和が 1 になるよう
∣α∣2+∣β∣2=1 を満たします）

もつれ状態（Bell状態）の数式

最も有名な量子もつれ状態の一つが、以下の「Bell状態（最大もつれ状態）」です。
2つの粒子（粒子Aと粒子B）がこの状態にあるとします。

∣Φ+⟩=2​1​(∣↑⟩A​∣↑⟩B​+∣↓⟩A​∣↓⟩B​)

この数式は非常に重要な性質を示しています。

1. 測定前の未確定性:
   粒子Aだけを見ても、上向きか下向きかは五分五分
   （確率は ∣2​1​∣2=21​）で、完全にランダムです。
   粒子Bも同様です。
2. 完全な相関:
   もし粒子Aを測定して「上向き ∣↑⟩A​」が得られたとします。
   その瞬間、全体の波の関数は ∣↑⟩A​∣↑⟩B​ に収縮します。
   つまり、粒子Bを測定すると100%の確率で「
   上向き ∣↑⟩B​」になります（下向きで揃う場合も同様）。

「もつれていない状態（セパラブル状態）」との違い

もつれていない状態は、2つの独立した状態の掛け算（直積）
として以下のように分離して書くことができます。

∣ψ⟩sep​=∣↑⟩A​⊗(2​1​∣↑⟩B​+2​1​∣↓⟩B​)

Bell状態 ∣Φ+⟩ は、どのように数学的工夫をしても
∣何か⟩A​⊗∣何か⟩B​ という形に
因数分解（分離）することができません。
これが「もつれている」ことの数学的な定義です。

アインシュタインの反論
（EPRパラドックス）と「隠れた変数」

1935年、アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンの3人（EPR）は、
この量子もつれの性質に対して異を唱えました。

EPRの主張：
「Aを測定した瞬間に、何光年も離れたBの状態が瞬時に決まるなんて、
光速を超えた情報の伝達を禁じる相対性理論に反する（局所性の崩壊）。
実際には、量子力学の確率なんてものは嘘で、
粒子が生まれた瞬間から、あらかじめ『上・上』か『下・下』になるか
という秘密の運命（隠れた変数）が決まっていたはずだ。
量子力学はまだ不完全な理論だ」

これは、「局所実在論（Local Realism）」と呼ばれる、
私たちの日常の直感（月は見上げていなくてもそこに存在するし、
遠くの出来事は瞬時に影響しない）に沿った考え方です。

実際の実験：どうやって「隠れた変数」の嘘を暴いたか？

アインシュタインの「あらかじめ決まっていた」という主張と、
量子力学の「測定するまで決まっていなかった」という主張は、
長らく哲学的な論争にとどまっていました。
なぜなら、同じ方向（縦方向のスピンなど）で測る限り、
どちらの理論でも結果が「一致する」という結論は変わらないからです。

しかし1964年、ジョン・ベルが
「測定する角度をズラして実験すれば、両者の違いを数式で証明できる」
ことを発見しました（ベルの不等式）。

ベルの不等式（CHSH不等式）の数式

2人の実験者（アリスとボブ）が、それぞれ異なる2つの角度
（アリスは a,a′、ボブは b,b′）で、もつれた粒子のスピンを測定します。
測定結果はそれぞれ +1（上向き）か −1（下向き）のどちらかです。

もしアインシュタインの言う通り
「隠れた変数（あらかじめ結果が決まっている世界）」が正しいなら、
何度実験を繰り返しても、それぞれの測定値の相関（期待値 E）の組み合わせは、
必ず以下の不等式を満たさなければなりません。

S=∣E(a,b)−E(a,b′)+E(a′,b)+E(a′,b′)∣≤2

これがCHSH不等式（ベルの不等式の一種）です。
「古典的な物理学（実在論）が正しければ、この値 S は絶対に 2 を超えない」
という限界を示しています。

しかし、量子力学の数式（Bell状態）を使って、巧みに選んだ特定の角度
（例：互いの測定角を 22.5∘ ズラすなど）でこの期待値を計算すると、
理論上、限界を突破して以下の値になります。

Squantum​=22​≈2.828

これにより、
「実際に実験をして、値が 2 を超えれば、アインシュタインが間違っていた
（世界は測定前には決まっていない）と証明できる」
という舞台が整いました。

歴史的な検証実験

この不等式を検証するため、多くの物理学者が実際に実験を行いました。
2022年のノーベル物理学賞は、この実験に決定的な貢献をした3氏
（アスペ、クラウザー、ツァイリンガー）に贈られています。

① アラン・アスペの実験（1982年）

アスペらは、カルシウム原子から放出される
「量子もつれ状態にある2つの光子（偏光）」を利用しました。
光子が飛行している最中（わずか数十ナノ秒の間）に、
測定装置の偏光フィルターの角度を高速かつランダムに切り替える実験を行いました。
これにより、「Aの装置の設定が、光速以下のスピードでBの装置に伝わる」
という抜け穴（ロジックの隙）を塞ぎました。

結果: 不等式の上限 2 を大きく超え、量子力学の予測する 2.82
に極めて近い値を叩き出しました。

② ループホール・フリー（抜け穴のない）実験（2015年）

初期の実験には「測定器の検出効率が低いため、
測定漏れの中に隠れた変数が潜んでいるのではないか（検出の抜け穴）」などの批判がありました。
しかし2015年、オランダのデルフト工科大学などのグループが、
1.3km離れた2つの電子のスピンを用いて、
すべての主要な「抜け穴（ループホール）」を同時に排除した完璧な実験に成功しました。

これによって、
「自然界は、局所実在論（アインシュタインの主張）を完全に否定している」
ことが決定的に証明されました。

まとめ：何が起きているのか？

量子もつれにおける「瞬時の状態変化」は、
情報を光速を超えて伝える手段（通信）には使えません。
なぜなら、アリスの手元で得られる結果自体は常に50%の確率で完全なランダムであり、
ボブの結果と答え合わせ（これには光速以下の通常の通信が必要）をするまでは、
何のデータも読み取れないからです。
したがって、相対性理論とは矛盾しません。

しかし、数式と実験が示したのは、

「この宇宙の本質は、個々のパーツが独立して存在するのではなく、
測定という行為を通じて初めてその現実が紡ぎ出される、
深く結びついたシステムである」という驚くべき事実です。

現在この性質は、絶対に盗聴できない量子暗号や、
超高速計算を行う量子コンピュータのコア技術として実用化が進んでいます。

量子もつれを地上（光ファイバーや大気圏内）で長距離伝送しようとすると、
光の吸収や散乱によって信号が指数関数的に減衰してしまいます。
この限界を突破するために、宇宙空間（真空）を利用して
圧倒的な長距離間で量子もつれを届ける技術が「量子通信衛星」です。

2016年に中国が打ち上げた量子科学実験衛星「墨子号（Micius）」の実験をベースに、
宇宙規模の量子もつれ実験のメカニズムを、詳しく解説します。

衛星実験の基本セットアップと
「光子の偏光」

衛星を使った実験では、一般的に「光子の偏光（振動方向）」
を量子ビットとして利用します。

• 水平偏光（Horizontal）を $\ket{H}$
• 垂直偏光（Vertical）を $\ket{V}$

と定義します。
衛星に搭載された特殊な結晶（BBO結晶など）にレーザーを照射し、
自発的パラメトリック下方変換（SPDC）という現象を起こすことで、
以下のBell状態（最大もつれ状態）にある光子ペアを生成します。

$$\ket{\Psi^-} = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \ket{H}_A\ket{V}_B - \ket{V}_A\ket{H}_B )$$

この状態は、アリス（地上局A）に届く光子とボブ（地上局B）に届く光子の偏光が
常に直交する（一方が $H$ なら他方は必ず $V$ になる）という強い相関を持っています。

衛星は、このもつれた光子ペアの一方を中国の「デリンハ局（地上局A）」へ、
もう一方を「麗江局（地上局B）」へと、
約1,200km離れた2つの地上局に向けて同時に発射しました。

宇宙空間の移動に伴う数式変化
（座標系の回転と位相のズレ）

衛星から地上へ光子を届ける際、数式上、
そのまま $\ket{\Psi^-}$ が維持されるわけではありません。
衛星の移動や大気の影響を考慮する必要があります。

① 幾何学的な座標の回転（偏光の回転）

衛星と2つの地上局の位置関係は、衛星の飛行に伴って刻一刻と変化します。
地上局から見た「水平・垂直」の基準軸が、
衛星から見た基準軸に対して角度 $\theta_A, \theta_B$ だけ傾いている場合、
地上に届いた状態は数学的に以下の回転行列（ユニタリ変換 $U$）を受けます。

$$U(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

これにより、地上局で観測される状態は以下のように変化します。

$$\ket{\Psi_{\text{ground}}} = (U(\theta_A) \otimes U(\theta_B)) \ket{\Psi^-}$$

実験では、衛星のGPSデータと地上からのレーザー追尾によって傾き
$\theta_A, \theta_B$ をリアルタイムに計算し、
地上側の光学素子（波長板）でこの回転を打ち消す（逆変換 $U^\dagger$ をかける）ことで、
元の $\ket{\Psi^-}$ を復元します。

② 大気による偏光の維持（真空のメリット）

光ファイバーの中を光子が通る場合、ガラスの応力などによって
偏光がランダムに変化（デフェージング）し、数式的には以下のように
「混ざり合った状態（密度行列 $\rho$）」へと劣化します。

$$\rho = (1-\epsilon)\ket{\Psi^-}\bra{\Psi^-} + \epsilon \frac{I}{4}$$

（$\epsilon$ はエラー率、$I$ は単位行列）

しかし、衛星実験の経路の 99% 以上は「真空の宇宙空間」です。
真空は偏光を乱さない（複屈折がない）ため、
1,200kmという超長距離であっても、$\epsilon \approx 0$、
つまり純粋な量子もつれ状態（$\ket{\Psi^-}$）を
ほぼ無傷で地上に届けることができるのです。
これが衛星を使う最大のメリットです。

ベルの不等式（CHSH不等式）による数式実証

1,200km離れた地上局AとBに光子が到達したとき、
本当に量子もつれが維持されているかを証明するため、
地上局でベルの不等式（CHSH不等式）の検証を行います。

アリスとボブは、それぞれ偏光フィルターの角度を
ランダムに切り替えて測定します。

• アリスが選ぶ角度： $a_1 = 0^\circ, a_2 = 45^\circ$
• ボブが選ぶ角度： $b_1 = 22.5^\circ, b_2 = 67.5^\circ$

それぞれの角度の組み合わせに対する、
測定結果（$1$ または $-1$）の相関（期待値 $E(a, b)$）を計算します。
純粋な $\ket{\Psi^-}$ 状態に対して、
量子力学の数式から導かれる期待値は以下のようになります。

$$E(a, b) = -\cos(2(a - b))$$

これを選択した角度に代入すると、

• $E(a_1, b_1) = -\cos(2(0^\circ - 22.5^\circ)) = -\cos(-45^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
• $E(a_1, b_2) = -\cos(2(0^\circ - 67.5^\circ)) = -\cos(-135^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
• $E(a_2, b_1) = -\cos(2(45^\circ - 22.5^\circ)) = -\cos(45^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
• $E(a_2, b_2) = -\cos(2(45^\circ - 67.5^\circ)) = -\cos(-45^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

これらをCHSH不等式の式 $S$ に代入します。

$$S = |E(a_1, b_1) - E(a_1, b_2) + E(a_2, b_1) + E(a_2, b_2)|$$

$$S = |-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}| = |-2\sqrt{2}| = 2\sqrt{2} \approx 2.828$$

実際の実験結果

隠れた変数説（古典物理学）が正しければ $S \le 2$ でなければなりませんが、
墨子号の実験によって得られた実測値は $S = 2.56 \pm 0.07$ でした。

これは 2 を明確に超えており、
「1,200km離れても、量子もつれは一切崩壊せず瞬時に相関している」
ことが数式通りに実証された瞬間でした。

衛星実験における最大の課題：
量子誤り率（QBER）

数式上は完璧に見えても、実際の実験では
地上の望遠鏡が拾ってしまう「背景光（お月様や街の明かり）」や
「検出器のノイズ（ダークカウント）」が混入します。
これを量子誤り率（QBER: Quantum Bit Error Rate）として計算します。

QBER（$e$）は、大まかに以下の数式で表されます。

$$e \approx \frac{N_{\text{noise}}}{N_{\text{signal}} + N_{\text{noise}}}$$

• $N_{\text{signal}}$（届いた光子の数）:
  1,200kmの間に大気や望遠鏡の倍率によるロスがあるため、
  衛星から毎秒数百万個送っても、地上でペアとして同時検出（シグナル）
  できるのは毎秒数個程度にまで激減します。
• $N_{\text{noise}}$（ノイズ数）:
  夜間に実験を行う、あるいは特定の波長だけを通す極めて狭い超高性能フィルター
  （バンドパスフィルター）を用いることで、この値を極限まで抑え込みます。

墨子号の実験では、このノイズ制御技術により、
QBERを約 4.2% という非常に低い値に抑えることに成功しました。
一般的に量子鍵配送（安全な通信）を行うには
QBER が 11%以下 である必要があるため、
この実験値は「宇宙経由の量子暗号通信が十分に実用可能である」
ことを数学的・技術的に証明するものとなりました。